Hallo Leuts, ich habe ein Problem und finde den Fehler nicht. Mein Studium
ist anscheinend doch schon zu lange her...

Ich will den Druckverlauf in einem geschlossenen Behälter berechnen, bei dem
durch ein kleines Loch Luft entweicht. Der Druckunterschied zwischen dem
Behälter und der Umgebung ist nur sehr klein, es wird also keine
Schallgeschwindigkeit bei der Ausströmung erreicht. Bei meinen Überlegungen
komme ich aber nicht auf die e-Funktion, die ich hier erwarten würde. Könnt
Ihr mir auf die Sprünge helfen? Hier mal meine bisherigen Überlegungen:

Nach Bernoulli gilt: Po = Pu + rho/2*v^2
Also ist v = sqrt((Po-Pu)*2/rho)

Der abfließende Massenstrom ist: dm/dt = A*rho*v

Nach Boyle-Mariotte gilt: P*V = m*R*T
V und R sind konstant, T wird auch als konstatnt angenommen, da Po-Pu klein ist
Somit bekommt man: P = R*T/V * m
Wenn man das ableitet gibt das:
dP/dt = R*T/V * dm/dt
= R*T/V * A*rho*v
= R*T/V*A*rho * sqrt((Po-Pu)*2/rho)
Die einzige Veränderliche auf der rechten Seite ist Po und wird nun mit P ersetzt.

Das ergibt die DGL: dP/dt = K * sqrt(P-Pu)
(mit K = R*T/V*A*sqrt(2*rho) )
Umgestellt:
1/sqrt(P-Pu)*dP = K*dt

Wenn man die DGL nun integriert bekomme ich
2*sqrt(P-Pu)|Po...Pu = K*t|0...t

Das ist eine Wurzel-Funktion, ich hätte aber eine e-Funktion erwartet.
Was mache ich falsch?

Gruß
Oliver

Klingt alles so weit richtig, außer dass der Massenstrom eher

dm/dt = - A rho u

sein sollte. Das wiederum führt jedoch dazu, dass Deine Wurzel nachher negativ sein soll, was ja eigentlich nicht sein kann/soll...

Warum erwartest Du so zwingend eine e-Funktion? Rechne doch mal eine adiabate Ausströmung nach, vielleicht findest Du dann eine? ;-)

Oliver

Geändert von Oliver Arend am 07. Juli 2009 um 15:02

Die physikalischen Verhältnisse sind hier meinem Bauchgefühl nach typisch für
eine e-Funktion. Der Endzustand wird nie erreicht, da die Druckdifferenz immer
kleiner wird und dadurch immer weniger ausströmt.

Das mit dem Vorzeichen von dm/dt ist klar. Das bedeutet dass die Konstante K
negativ wird. Aber sonst bleibt es weiter bei dem Ergebnis, was meiner Meinung
nach nicht stimmen kann, denn es würde bedeuten, dass:

2*sqrt(P-Pu)|Po...P = K*t|0...t
2*sqrt(P-Pu) - 2*sqrt(Po-Pu) = K*t
sqrt(P-Pu) = K/2*t + sqrt(Po-Pu)
P = (K/2*t + sqrt(Po-Pu))^2 + Pu
P = K^2/4*t^2 + K*sqrt(Po-Pu)*t + (Po-Pu) + Pu
P = K^2/4*t^2 + K*sqrt(Po-Pu)*t + Po

Also der Druckverlauf entspricht einer Parabel in der Form
P = a*t^2 - b*t + c (a,b,c>0)

Bei t=0 gibt das P=Po, das passt.
Bei t=-2/K*sqrt(Po-Pu) (>0) ist P=Pu. Das ist für mich schon seltsam: exakter
Druckausgleich nach einer diskreten Zeit.
Aber danach steigt der Druck wieder an. Das passt einfach nicht...

Oliver